cardanische Formeln

cardanische Formeln,

 

Cardano-Formeln [nach G. Cardano], Formeln zur Lösung der kubischen Gleichung. Die Normalform x³ + r x² + s x + t = 0 wird zunächst mithilfe der Substitution x = y — r/3 auf die reduzierte Form y³ + py + q = 0 gebracht (p = s — r²/3, q = 2 r³/27 — s · r/3 + t), in der kein quadratisches Glied auftritt. Wenn (q/2)² + (p/3)³ ≧ 0 ist, dann hat die Gleichung eine reelle Lösung der Form y₀ = u + v und zwei komplexe Lösungen der Form: wobei gilt:

 

Ist (q/2)² + (p/3)³ < 0, muss die dritte Wurzel aus einer komplexen Zahl gezogen werden. Da die Mathematiker des 15. und 16. Jahrhunderts dafür keine Lösung fanden, wurde dieser Fall als casus irreducibilis bezeichnet. Um 1600 bewies F. Vieta, dass in diesem Fall die Gleichung drei reelle Lösungen hat; sie haben die Form:

 

wobei gilt: und cos ϕ = — (q/2)/r.

 

Die cardanischen Formeln wurden von G. Cardano 1545 erstmals veröffentlicht, waren aber schon vorher N. Tartaglia bekannt.